MATEFÁCIL

DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN

Sea f(x) una función derivable. Diferencial de una función correspondiente al incremento h de la variable independiente, es el producto f'(x)*h. Se representa por dy.

La diferencial de un punto representa el incremento de la ordenada de la tangente, correspondiente a un incremento de la variable independiente.

Diferencial ≠ Derivada

Aunque aparecen en contexto relacionados, hay que tener cuidado de no confundir la diferencial de una función con la derivada de una función. Las diferencias son claras:

· La diferencial es una cantidad infinitesimal. Es un contexto físico macroscópico, donde las diferencias se miden en metros, podemos considerar que una distancia es diferencial en la práctica si es de 1µm, por ejemplo. Un intervalo de tiempo diferencial puede ser de 1µs, si hablamos de tiempos del orden de 1 segundo.

· La derivada es una cantidad finita, resultado del cociente de dos diferenciales. Por ejemplo, si una partícula recorre 1µm en 1µs su velocidad (la derivada) es 1m/s, que no es para nada infinitesimal.

· Una derivada es siempre respecto a algo, es tan importante indicar que se deriva como con respecto a que. Una diferencial, en cambio, es un incremento de una sola función.

· Una diferencial tiene dimensiones (unidades) de la cantidad de la que se calcula; una derivada tiene las dimensiones de la cantidad derivada dividida por las de la variable respecto a la que se deriva.

Propiedades de la diferencial

Primera propiedad:

La diferencial de una función en un punto depende de dos variables: el punto x elegido y el incremento h que se ha tomado.

Segunda propiedad:

Al ser dy = f ' (x)·h = AC, la diferencia de una función en un punto es el incremento (aumento) de la ordenada de la tangente al aumentar en h un punto de abscisa x.

Tercera propiedad:

Si se considera la función y = f(x) = x, df(x) = dx = f'(x) · h = 1 · h = h.

Asi, dx=h y se puede escribir :