Curvatura (concavidad y convexidad) y puntos de inflexión

Una función es cóncava en un intervalo cuando para cualquier par de puntos de la curva (dentro del intervalo), el segmento que los une queda por debajo de la gráfica.

Cuando el segmento queda por encima de la gráfica, la función es convexa en dicho intervalo.

Si tenemos una curva y = f(x). Trazamos la recta tangente a ella en un punto P, cuya ecuación es y = t(x). Entonces:

Si en las cercanías de P es f(x) > t(x), la curva es cóncava en P.

Si en las cercanías de P es f(x) < t(x), la curva es convexa en P.

Si la tangente atraviesa la curva en P, es decir, si a la izquierda de P es f(x) < t(x), y a la derecha f(x) > t(x), o vicecersa, P es un punto de inflexión.

Un punto de inflexión, en una función matemática, es un punto donde los valores de una función es continua en x pasan de un tipo de concavidad a otra. La curva "atraviesa" la tangente.​ Matemáticamente la derivada segunda de la función f en el punto de inflexión es cero,​ o no existe.

En el cálculo de varias variables a estos puntos de inflexión se les conoce como puntos de ensilladura.

La relación entre la curvatura de una función y el valor de su segunda derivada, viene dado por:

Si f tiene segunda derivada en x₀, se cumple que:

• f cóncava en x₀ => f' es creciente en x₀ => f''(x₀) >= 0
• f convexa en x₀ => f' es decreciente en x₀ => f''(x₀) <= 0
• f tiene un punto de inflexión en x₀ => f''(x₀) = 0

Ejemplo:

 Estudia la curvatura y puntos de inflexión de la función .

           

INTEGRANTES:

• KIMBERLY RODRIGUEZ
• ARIANNA DOMINGUEZ
• OMAR SALAZAR
• GENESIS CARDENAS
• JULIO SEMPERTEGUI
• ERICK AREVALO PALACIOS