MATEFÁCIL

Derivada de una función en un punto

Sea una función y = f(x) y x₀ un punto del eje X. Si se toma un punto x₀ + h muy próximo a x₀ (h es un número infinitamente pequeño), a medida que se hace tender h a cero, la recta secante (en rojo de la figura) que une los puntos

( x₀, f(x₀ ) ) y ( x₀ + h, f(x₀ + h) ), tiende a confundirse con la tangente (en azul de la figura) a la curva en el punto (x₀,f(x₀ )).

que determina la tangente con ese mismo eje, en el triángulo rectángulo de vértices

Al hacer tender h a cero, y puesto que la secante tiende a confundirse con un segmento

de la tangente, es decir, si miras la figura, al hacer que h tienda a cero la línea roja se acerca a la línea azul por lo que:

tg a_h   tiende a tg a, es decir,

a la pendiente de la tangente a la curva en el punto (x₀,f(x₀ )).

Esto se expresa matemáticamente así:

Sea una función y = f(x) y x₀ un punto del eje X. Si se toma un punto x₀ + h muy próximo a x₀ (h es un número infinitamente pequeño), a medida que se hace tender h a cero, la recta secante (en rojo de la figura) que une los puntos

( x₀,   f(x₀ ) ) y ( x₀ + h,    f(x₀ + h) ), tiende a confundirse con la tangente (en azul de la figura) a la curva en el punto (x₀,f(x₀ )).

que determina la tangente con ese mismo eje, en el triángulo rectángulo de vértices

(x₀,f(x₀ )), (x₀ + h,f(x₀ + h)) y (x₀ + h,f(x₀ )), se verifica:

Al hacer tender h a cero, y puesto que la secante tiende a confundirse con un segmento

de la tangente, es decir, si miras la figura, al hacer que h tienda a cero la línea roja se acerca a la línea azul por lo que:

tg a_h   tiende a tg a, es decir,

a la pendiente de la tangente a la curva en el punto (x₀,f(x₀ )).

Esto se expresa matemáticamente así:

NOTA: Es importante que entiendas esto, pues es el núcleo por
el que después entenderás otros conceptos,
si no es así, dímelo

Derivada de una función en un punto

Dada una función y = f(x), se llama derivada de la función f en un punto x0 al

f '(x₀ ) (efe prima de equis sub-cero) o por D(f(x0 )):

Cuando este límite existe (y es finito) se dice que la función f(x) es derivable en el punto x₀.