BIENVENIDOS 

Bienvenidos a este blog en donde aprenderemos mucho acerca de las distintas operaciones que se pueden realizar con una función entre ellos tenemos los límites,derivadas , curvatura y punto de inflexión, continuidad, diferencial e integrales definidas de una función. Familiarizarse con el cálculo automático de derivadas, con la regla de la cadena para la derivación de funciones compuestas, con la derivación múltiple y todas las operaciones concernientes a ellas. Esta será nuestra meta.

Espero que sea de su agrado y  de gran ayuda. 

Límites de funciones definidas a trozos

Las funciones definidas a trozos son aquellas que están definidas en varios tramos, dependiendo del valor que tome la x. Al valor de la x donde la función cambia de tramo se le llama punto de ruptura y puede haber más de uno.

Las funciones definidas a trozos (o función a trozos o función por partes) son aquellas que tienen distintas expresiones o fórmulas dependiendo del intervalo (o trozo) en el que se encuentra la variable independiente (x).

Una función definida a trozos es aquella en la que para cada valor de x que se le pueda asignar, la función puede variar.

INTEGRANTES: 

• SHIRLEY LLIVISUPA
• DANNA MOROCHO
• AMY ORDOÑEZ
• GUADALUPE ALCIVAR
• ANGIE DIAZ

Aplicación de límites y continuidad de funciones.

Intuitivamente se puede decir que una función es continua cuando en su gráfica no aparecen saltos o cuando el trazo de la gráfica no tiene "huecos". En la figura 8.6., aparece la gráfica de tres funciones: dos de ellas no continuas (discontinuas) en el punto x = a de su dominio (a) y  (b) y la otra  (c)continua en todo su dominio. Al mirar con un poco de cuidado las gráficas de la figura, se pueden deducir intuitivamente, resultados que permitirán comprender con mayor claridad la definición precisa de lo que significa: "ser una función continua en un punto dado de su dominio". En la gráfica de la fig.  (a) se tiene:  I.. (Existe).  II. f(a) existe. Pero,. (Por esta razón f es discontinua) ¿Qué le sucede a la gráfica si f(a)= L?  Para la gráfica de la fig. (b) se tiene:  I. No existe. (Por esta razón f es discontinua)  II. f(a) = L1(Existe).  Finalmente, para la gráfica de la fig. (c) se tiene:  I. . (Existe). (Por esta razón f es discontinua) II. f(a) (Existe).  III.   Estas tres condiciones son las que en última instancia, permiten deducir intuitivamente que la función cuya gráfica aparece en la fig.  (c) es continua en el punto a.  Lo anterior nos permite establecer la siguiente definición. Definición:  Una función f es CONTINUA EN x = a, si y solo si se satisfacen las siguientes condiciones: I. f(a) existe.  II.  existe.  III.  Si al menos una de estas tres condiciones deja de cumplirse se dice que f es DISCONTINUA(NO CONTINUA) en x = a.  Observaciones: I. Si en la definición anterior, sustituimos  por o por, se dice entonces que f es continua a la derecha, respectivamente, a la izquierda del punto x = a. II. Algunos autores adoptan como definición de continuidad en un punto, la condición III. de la definición anterior, esto es, f es continua en x = a, si y solo si,. III. Si en la definición de continuidad se hace: x = a + h; con a y (a + h) en el dominio de f, se dice entonces, que f es continua en a si y solo si,. Iv. Si f es discontinua en x = a y existe pero es diferente de f(a), se dice que la discontinuidad es REMOVIBLE O EVITABLE. En caso contrario, se dice que la discontinuidad es ESENCIAL.  Asi por ejemplo, la gráfica de la fig.  (a) corresponde a la gráfica de una función con discontinuidad Removible o evitable en x = a. Mientras que la gráfica de la fig.  (b) corresponde a la gráfica de una función con discontinuidad ESENCIAL en x = a. v. Cuando una función tiene discontinuidad removible en un punto, se usa la frase "Remover la discontinuidad" para indicar que se puede redefinir la función haciendo que: y de esta manera obtener una nueva función continua en x = a.Considere por ejemplo, la función f definida por:   La gráfica de la función aparece en : Si se analiza la continuidad de f en el punto x = 0, se tiene: I. (Existe) II.f (0) = 3 (Existe) Pero,; lo que indica que f es discontinua en x = 0. Ahora, como, la discontinuidad es evitable.  Se puede entonces, "remover" o "evitar" la discontinuidad, redefiniendo una nueva función de tal forma que. Esto es, redefiniendo a f asi: Esta nueva función es continua en x = 0.  Es de anotar que la función f se ha redefinido y por lo tanto, no se trata de la misma función. ¿Porqué?  Teoremas sobre funciones continuas.  Los siguientes teoremas, que se enuncian sin demostración, señalan importantes propiedades de las funciones continuas y son al mismo tiempo herramientas útiles que permiten deducir, en muchos casos, la continuidad de una función, sin recurrir directamente al empleo de la definición.  TEOREMA 1. (Algebra de funciones continuas) Sean f, g dos funciones continuas en el punto x = a. Entonces: I. (f + g) es continua en x = a. (Suma de funciones continuas es continua). II. (f – g) es continua en x = a. (Diferencia de funciones continuas es continua). III. (f × g) es continua en x = a. (Producto de funciones continuas es continua). Iv.  es continua en x = a, si g(a) ¹ 0. (Cociente de funciones continuas es continua). Consecuencias: C.C.1. La función polinómica es continua en todo punto del eje real. En efecto, sea una función polinómica de grado n.  Sea a un punto cualquiera del eje real. Al aplicar sucesivamente el teorema 1 en sus partes i., ii. y iii se obtiene que:   y de aquí, Pn (x)es una función continua en todo punto del eje real.  C.C.2. Toda función racional es continua en los puntos que no anulen el denominador de la función.  TEOREMA 2. (Límite de la función compuesta) Sean f y g dos funciones tales que: f es continua en b y. Entonces:  . Algunas consecuencias importantes de este teorema son las siguientes:  C.C.3. Si, entonces,. Cuando n sea par, se debe cumplir además que b > 0. C.C.4. Si, entonces, Las consecuencias C.C.3. y C.C.4., se expresan respectivamente en palabras de la siguiente forma: "El límite de la raiz n-sima, es la raiz n-sima del límite y "El límite del valor absoluto, es el valor absoluto del límite". C.C.5. (Continuidad de la función compuesta). Si g es continua en a y f es continua en g(a), entonces (f o g) (x) = f (g(x)) es continua en a. Continuidad En Un Intervalo  Definiciones: I. Una función f es continua en un INTERVALO ABIERTO si y solo si, f es continua en TODO punto del intervalo. II.Una función f es continua en un INTERVALO CERRADO [a, b] si y solo si, f es continua en el intervalo abierto (a, b), continua por la derecha de a y continua por la izquierda de b. Definiciones similares se establecen para la continuidad de una función en un intervalo semiabierto de cualquiera de las formas: (a, b] ó [a, b). Asi por ejemplo, la función (mayor entero menor o igual a x), es continua en los intervalos de la formaü , ya que en cada uno de estos intervalos, la función es constante.  Considere también la función f definida por:   Se desea analizar la continuidad de f en el intervalo [-1, 3] 1.Continuidad en el intervalo abierto (-1, 3). Se analiza la continuidad sólo en el punto x = 2, ya que en los demás puntos del intervalo f es continua por ser polinómica en cada tramo.Continuidad en x = 2 I. f(2) = 4 II. III. De i., ii., y iii. se concluye que f es continua en x = 2 y por lo tanto fes continua en el intervalo (-1, 3). 2. Continuidad por la derecha del punto x = -1  I. f(-1) = (-1)2 = 1 (Existe)  II.  (Existe) III.  Luego f es continua por la derecha del punto x = -1. 3. Continuidad por la izquierda del punto x = 3  I. f(3) = 3 + 2 = 5 (Existe)  II.  (Existe) III.  Así que f es continua por la izquierda del punto x = 3. De 1. 2. y 3. se concluye de acuerdo a la definición, que f es continua en el intervalo cerrado [-1, 3]. INTEGRANTES: MARÍA CASTILLO GABRIELA NEIRA  GERALDINNE ESCUDERO RUBEN CANDELARIO CORAIMA LIMÓN

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS

Funciones continuas. Intuitivamente una función f es continua si su gráfica no tiene interrupciones ni saltos, ni oscilaciones indefinidas, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.

 Si alguna de las tres condiciones no se cumple, la función es discontinua en x₀.

Se dice que una función es continua en un intervalo cuando es continua en todos los puntos del intervalo.

Dadas dos funciones f(x) y g(x) continuas en un punto o en un intervalo, se cumple entonces que:

• La suma y la resta de ambas es una función continua en ese punto o intervalo.
• El producto de las dos funciones es una función continua en ese punto o intervalo.
• El cociente entre ambas funciones es una función continua en ese punto o intervalo salvo en aquellos en los que el denominador se anula.
• Si f(x) es continua en a y g(x) es continua en f(a), entonces la composición de funciones (g ° f) (x) es también continua en a.

Las funciones polinómicas son continuas en ℝ. Por ejemplo, f(x) = x3 - 2x2 +1.

Las funciones racionales son continuas en todo ℝ excepto en los puntos para los que se anula el denominador. Por ejemplo, f(x) = 1 / (x -1) es continua en todos los reales excepto en x = 1.

Las funciones constantes son continuas en todo ℝ. Por ejemplo, f(x) = 3.

La función definida por partes,

Es continua para los puntos x < 2 por ser polinómica y para los puntos x > 2 por ser constante. Además, la función es continua en el punto x = 2, porque los límites laterales de f(x) cuando x tiende a 2 coinciden y son iguales a f (2). Su gráfica es:

Continuidad lateral

• Una función f(x) es continua por la izquierda en el punto x = a si existe el límite de f(x) cuando x tiende a a por la izquierda y es igual a f(a).
• Una función f(x) es continua por la derecha a en el punto x = a si existe el límite de f(x) cuando x tiende a a por la derecha y es igual a f(a).

Si la función f(x) es continua por la derecha y por la izquierda de a, entonces es continua en a.

Las funciones polinomios, trigonométricas: seno y coseno, las exponenciales y los logaritmos son continuas en sus respectivos dominios de definición. 

La parábola, como función polinómica, es un ejemplo de función continua a lo largo de todo el dominio real.

En la gráfica se ve la función seno que es periódica, acotada y continua en todo el domino real, dado su carácter periódico, con ver uno solo de los ciclos es suficiente para comprobar la continuidad, porque el resto de los ciclos son exactamente iguales.

INTEGRANTES:

• DAYANNA BARBELLO
• EMILY PEÑA 
• AMBAR BAJAÑA
• KERLY VILLAMAR 
• EDWIN GUEVARA